곱 꼴 점화식의 일반항과 합

$\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n}{n + 2}$이므로 $n \geq 2$일 때 $\displaystyle a _{n} = a _{1} \times \frac{a _{2}}{a _{1}} \times \frac{a _{3}}{a _{2}} \times \cdots \times \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ $\displaystyle = 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{5} \times \cdots \times \frac{n - 1}{n + 1}$ $\displaystyle = \frac{1 \times 2}{n ( n + 1 )} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ $a _{1} = 1$도 이 식을 만족시키므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ $\displaystyle \frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = \frac{20}{11}$ 따라서 $p = 11 , q = 20$이므로 $p + q = 31$