공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

공통접선

문제

두 양수 $m$ , $n$ 에 대하여 직선 $y = mx + 2$ 가 두 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{2} + 5$ , $y = x ^{2} + 4 x + n$ 의 그래프에 동시에 접할 때, $m + n$ 의 값은? [3점] ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$

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②

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해설

직선 $y = mx + 2$ 가 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{2} + 5$ 의 그래프에 접하므로 $\displaystyle \frac{1}{3} x ^{2} + 5 = mx + 2$ 방정식 $x ^{2} - 3 mx + 9 = 0$ 의 판별식 $D _{1} = \left( 3 m \right) ^{2} - 36 = 0$ , $m ^{2} = 4$ , $m = 2 \left( m > 0 \right)$ 직선 $y = 2 x + 2$ 가 이차함수 $y = x ^{2} + 4 x + n$ 의 그래프에 접하므로 $x ^{2} + 4 x + n = 2 x + 2$ 방정식 $x ^{2} + 2 x + n - 2 = 0$ 의 판별식 $D _{2} = 2 ^{2} - 4 \left( n - 2 \right) = 0$ , $n = 3$ 따라서 $m + n = 5$

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