공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

공통인수와 인수정리

문제

$x$ 에 대한 두 다항식 $x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x + 6$ 과 $x ^{3} + x + a$ 가 모두 $x + b$ 로 나누어떨어질 때, $a + b$ 의 값은? (단, $a$ , $b$ 는 실수이다.) [3점] ① $\mathrm{11}$ ② $\mathrm{12}$ ③ $\mathrm{13}$ ④ $\mathrm{14}$ ⑤ $\mathrm{15}$

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②

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해설

$x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x + 6$ $= x ^{2} ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 )$ $= ( x + 2 ) \left( x ^{2} + 3 \right)$ 이므로 $b = 2$ 이다. $x ^{3} + x + a$ 가 $x + 2$ 로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 $- 8 - 2 + a = 0$ 이므로 $a = 10$ 이다. 따라서 $a + b = 12$ 이다.

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