공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

공통현의 길이와 지나는 점으로 원 정하기

문제

두 원 C1:x2+y2=9C _{1} : x ^{2} + y ^{2} = 9 C2:x2+y2−2ax+2y+k=0C _{2} : x ^{2} + y ^{2} - 2 ax + 2 y + k = 0 이 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 에서 만나고 AB‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{6} 이다. 직선 AB\mathrm{AB} 가 점 (1,2)( 1 , 2 ) 를 지날 때, 원 C2C _{2} 의 넓이는? (단, aa, kk 는 상수이다.) [4점] ①10π10 \pi②12π12 \pi③14π14 \pi④16π16 \pi⑤18π18 \pi

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③

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해설

원 C1C _{1} 의 반지름의 길이는 33 이므로 AB‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6 은 원 C1C _{1} 의 지름의 길이와 같다. 즉 선분 AB\mathrm{AB} 는 원 C1C _{1} 의 지름이므로 직선 AB\mathrm{AB} 는 원점 O\mathrm{O} 를 지난다. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 (x2+y2−9)−(x2+y2−2ax+2y+k)=0( x ^{2} + y ^{2} - 9 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 2 ax + 2 y + k ) = 0 2ax−2y−9−k=02 ax - 2 y - 9 - k = 0 이 직선이 직선 AB\mathrm{AB} 이다. 원점을 지나므로 −9−k=0- 9 - k = 0 에서 k=−9k = - 9 점 (1,2)( 1 , 2 ) 를 지나므로 2a−4=02 a - 4 = 0 에서 a=2a = 2 원 C2C _{2} 의 방정식은 x2+y2−4x+2y−9=0x ^{2} + y ^{2} - 4 x + 2 y - 9 = 0, 즉 (x−2)2+(y+1)2=14\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y + 1 \right) ^{2} = 14 따라서 원 C2C _{2} 의 넓이는 14π14 \pi 이다. ③

태그

#공통현#지름#원의 넓이

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