공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

공통현의 길이 구하기

문제

그림과 같이 두 원 x2+y2=20x ^{2} + y ^{2} = 20, x2+y2−6x−8y=0x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y = 0 이 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 에서 만난다. 선분 AB\mathrm{AB} 의 길이는? [3점] ①66②77③88④45\displaystyle 4 \sqrt{5}⑤99

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③

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해설

두 원의 방정식을 변끼리 빼면 (x2+y2−20)−(x2+y2−6x−8y)=0( x ^{2} + y ^{2} - 20 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y ) = 0 6x+8y−20=06 x + 8 y - 20 = 0, 즉 3x+4y−10=03 x + 4 y - 10 = 0 이 직선이 직선 AB\mathrm{AB} 이다. 원 x2+y2=20x ^{2} + y ^{2} = 20 의 중심 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ) 과 직선 3x+4y−10=03 x + 4 y - 10 = 0 사이의 거리는 ∣−10∣32+42=2\displaystyle \frac{\left| - 10 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = 2 이 원의 반지름의 길이가 25\displaystyle 2 \sqrt{5} 이므로 AB‾=220−4=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{20 - 4} = 8 ③

태그

#공통현#현의 길이#점과 직선 사이의 거리

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