공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

공통근 조건

문제

xx에 대한 이차방정식 x2+(a−4)x−1=0x ^{2} + ( a - 4 ) x - 1 = 0의 두 근을 α\alpha와 β\beta, x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0의 두 근을 α\alpha와 γ\gamma라 하자. 상수 a,ba , b에 대하여 2α=β−γ2 \alpha = \beta - \gamma가 성립할 때, 2a−b2 a - b의 값을 구하시오. [4점]

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14

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 수학내적문제 해결하기 x2+(a−4)x−1=0x ^{2} + ( a - 4 ) x - 1 = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이므로 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 α+β=−a+4\alpha + \beta = - a + 4 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} αβ=−1\alpha \beta = - 1 ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡} x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0의 두 근이 α,γ\alpha , \gamma이므로 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 α+γ=−a\alpha + \gamma = - a ⋯⋯㉢\cdots \cdots \text{㉢} αγ=b\alpha \gamma = b ⋯⋯㉣\cdots \cdots \text{㉣} ㉠,㉢\text{㉠} , \text{㉢}에서 β−γ=4\beta - \gamma = 4이므로 2α=β−γ2 \alpha = \beta - \gamma에서 2α=42 \alpha = 4 즉, α=2\alpha = 2 α=2\alpha = 2를 ㉠,㉡,㉢,㉣\text{㉠} , \text{㉡} , \text{㉢} , \text{㉣}에 대입하여 풀면 β=−12,γ=−92,a=52,b=−9\displaystyle \beta = - \frac{1}{2} , \gamma = - \frac{9}{2} , a = \frac{5}{2} , b = - 9 따라서 2a−b=5−(−9)=142 a - b = 5 - ( - 9 ) = 14

태그

#근과 계수의 관계#공통근

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