기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

공간벡터 내적 최댓값

문제

좌표공간의 두 점 A(2,2,3)\displaystyle \mathrm{A} ( 2 , \sqrt{2} , \sqrt{3} ), B(1,−2,23)\displaystyle \mathrm{B} ( 1 , - \sqrt{2} , 2 \sqrt{3} )에 대하여 점 P\mathrm{P}는 다음 조건을 만족시킨다. (가) ∣AP⃗∣=1\mathrm{|} \vec{AP} | = 1 (나) AP⃗\mathrm{\vec{AP}}와 AB⃗\mathrm{\vec{AB}}가 이루는 각의 크기는 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}이다.

중심이 원점이고 반지름의 길이가 11인 구 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 AP⃗∙AQ⃗\mathrm{\vec{AP}} \bullet {\vec{AQ}}의 최댓값이 a+b33\displaystyle a + b \sqrt{33}이다. 16(a2+b2)16 ( a ^{2} + b ^{2} )의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 유리수이다.) [4점]

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5050

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해설

[출제의도] 벡터의 내적의 최댓값을 구할 수 있는가? 벡터 AP⃗{\vec{\mathrm{AP}}}를 시점이 원점이 되도록 옮겼을 때, 종점을 P′\mathrm{P}'이라 하자. 이때, AP⃗∙AQ⃗{\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}=OP′⃗∙AQ⃗= {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}} =OP′⃗∙(OQ⃗−OA⃗)= {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OA}}} \right) =OP′⃗∙OQ⃗−OP′⃗∙OA⃗= {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}} 이때, 점 Q\mathrm{Q}가 점 P′\mathrm{P}'이 되도록 잡으면 최댓값을 가지므로 OP′⃗∙OQ⃗−OP′⃗∙OA⃗{\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}}≤OP′⃗∙OP′⃗−OP′⃗∙OA⃗\leq {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OP}'}} - {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}} =1−OP′⃗∙OA⃗= 1 - {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}} ⋅⋅⋅⋅⋅⋅\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ㉠ 한편, AB⃗{\vec{\mathrm{AB}}}=OB⃗−OA⃗= {\vec{\mathrm{OB}}} - {\vec{\mathrm{OA}}} =(1,−2,23)−(2,2,3)\displaystyle = \left( 1 , - \sqrt{2} , 2 \sqrt{3} \right) - \left( 2 , \sqrt{2} , \sqrt{3} \right) =(−1,−22,3)\displaystyle = \left( \mathit{-} 1 , - 2 \sqrt{2} , \sqrt{3} \right) 이고 점 B′\mathrm{B}'을 AB⃗=OB′⃗{\vec{\mathrm{AB}}} = {\vec{\mathrm{OB}'}}이라 하자. 벡터 AP⃗{\vec{\mathrm{AP}}}와 벡터 AB⃗{\vec{\mathrm{AB}}}가 이루는 각의 크기가 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}이므로 그림과 같이 점 P′\mathrm{P}'이 세 점 O,A,B′\mathrm{O} , A , B'에 의하여 결정된 평면 위에 그림과 같이 P′′\mathrm{P}''에 있을 때, OP′⃗∙OA⃗{\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}}는 최솟값을 갖는다.

이때, 두 벡터 OA⃗,OB′⃗{\vec{\mathrm{OA}}} , {\vec{\mathrm{OB}'}}이 이루는 각의 크기를 α\alpha라 하면 cos⁡α\cos \alpha=(2,2,3)∙(−1,−22,3)4+2+31+8+3\displaystyle = \frac{\left( 2 , \sqrt{2} , \sqrt{3} \right) \bullet \left( - 1 , - 2 \sqrt{2} , \sqrt{3} \right)}{\sqrt{4 + 2 + 3} \sqrt{1 + 8 + 3}} =(−2)+(−4)+363\displaystyle = \frac{\left( \mathit{-} 2 \right) + \left( - 4 \right) + 3}{6 \sqrt{3}} =−123\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2 \sqrt{3}} =−36\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{6} 이때, 두 벡터 OA⃗,OP′′⃗{\vec{\mathrm{OA}}} , {\vec{\mathrm{OP}''}}이 이루는 각의 크기는 α+π6\displaystyle \alpha + \frac{\pi}{6}이고 cos⁡(α+π6)\displaystyle \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)=cos⁡αcos⁡π6−sin⁡αsin⁡π6\displaystyle = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} =−36×32−336×12\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \times \frac{1}{2} =−14−3312\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12} 그러므로 OP′′⃗∙OA⃗{\vec{\mathrm{OP}''}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}}=∣OP′′⃗∣∣OA⃗∣cos⁡(α+π6)\displaystyle = \left| {\vec{\mathrm{OP}''}} \right| \left| {\vec{\mathrm{OA}}} \right| \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) =1×4+2+3×(−14−336)\displaystyle = 1 \times \sqrt{4 + 2 + 3} \times \left( - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{33}}{6} \right) =−34−334\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{4} 그러므로 ㉠에서 1−OP′⃗∙OA⃗1 - {\vec{\mathrm{OP}'}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}}≤1−OP′′⃗∙OA⃗\leq 1 - {\vec{\mathrm{OP}''}} \bullet {\vec{\mathrm{OA}}} =74+334\displaystyle = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} 따라서 최댓값은 74+334\displaystyle \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4}이므로 a=74\displaystyle a = \frac{7}{4}, b=14\displaystyle b = \frac{1}{4} ∴16(a2+b2)=50\therefore 16 \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 50

태그

#벡터의 내적#구

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