공간벡터 내적 최대

[출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 두 벡터의 내적의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다. 두 벡터 $\mathrm{\vec{OP}}$와 $\vec{\mathrm{A}} Q$의 크기가 일정하므로 $\mathrm{\vec{OP}} \bullet {\vec{AQ}}$는 두 벡터가 이루는 각이 최소일 때 최댓값을 갖는다. 다섯 개의 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 한 평면에 있도록 그림으로 나타내면 다음과 같고 $\mathrm{\vec{OP}} \bullet {\vec{AQ}}$는 $\left| \mathrm{\vec{OP} |} \right.$와 선분 $\mathrm{AQ}$의 $xy$평면으로의 정사영의 길이의 곱과 같다.

그림에서 $\mathrm{\angle} BAO = \alpha$, $\mathrm{\angle} QAB = \beta$, $xy$평면과 직선 $\mathrm{{AQ}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta \right) = \sin \left( \alpha + \beta \right)$이므로 선분 $\mathrm{AQ}$의 $xy$평면으로의 정사영의 길이는 $\left| \mathrm{\vec{AQ}} \right| \sin ( \alpha + \beta )$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} = 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 2 \sqrt{10}$ 그러므로 $\displaystyle \sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\displaystyle \cos \beta = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 방향벡터가 $( 2 , 4 , - 4 )$이고 점 $\mathrm{A} ( 0 , 0 , 2 )$를 지나는 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z - 2}{- 4}$이다. 이 직선과 $xy$평면과의 교점을 $\mathrm{R}$라 하면 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식에서 $z = 0$일 때이므로 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $( 1 , 2 , 0 )$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AR}} = \sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}} = 3$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} = \sqrt{5}$ 그러므로 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{2}{3}$ 따라서 $\left| \mathrm{\vec{AQ}} \right| \sin ( \alpha + \beta )$ $\displaystyle = 2 \sqrt{10} \times \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10} \right. \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{10}}{10} )$ $\displaystyle = \frac{6 \sqrt{5} + 4}{3}$ $\mathrm{\vec{OP}} \bullet {\vec{AQ}}$$= \left| \vec{\mathrm{O}} P \right| \left| \vec{AQ} \right| \cos \theta$ $= \left| \vec{\mathrm{O}} P \right| \left| \vec{AQ} \right| \sin ( \alpha + \beta )$ $\displaystyle = 3 \times \frac{6 \sqrt{5} + 4}{3}$$\displaystyle = 6 \sqrt{5} + 4$ 따라서 $a = 4$, $b = 6$이므로 $ab =$$4 \times 6 = 24$