공간벡터 크기 최댓값

$\displaystyle \frac{1}{2} \vec{A _{0} A _{3}} \cdot ( \vec{A _{0} A _{1}} - \frac{1}{2} \vec{A _{0} A _{3}} ) = \cos \frac{2}{3} \pi$ $\displaystyle \vec{A _{0} A _{3}} \cdot \vec{A _{0} A _{1}} - \frac{1}{2} | \vec{A _{0} A _{3}} | ^{2} = - 1$…㉠ $\displaystyle \frac{1}{2} \vec{A _{0} A _{3}} \cdot ( \vec{A _{0} A _{2}} - \frac{1}{2} \vec{A _{0} A _{3}} ) = \cos \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \vec{A _{0} A _{3}} \cdot \vec{A _{0} A _{2}} - \frac{1}{2} | \vec{A _{0} A _{3}} | ^{2} = 1$…㉡ $\displaystyle \frac{1}{2} \vec{A _{0} A _{3}} \cdot ( \vec{A _{0} A _{3}} - \frac{1}{2} \vec{A _{0} A _{3}} ) = 1$ $\therefore$　$| \vec{A _{0} A _{3}} | = 2$ 이때, ㉠, ㉡에 대입하면 $\vec{A _{0} A _{3}} \cdot \vec{A _{0} A _{1}} = 1$, $\vec{A _{0} A _{3}} \cdot \vec{A _{0} A _{2}} = 3$ 이고 $\vec{A _{0} A _{3}}$과 $\vec{A _{0} A _{1}}$이 이루는 각의 크기를 $\theta _{1}$, $\vec{A _{0} A _{3}}$과 $\vec{A _{0} A _{2}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta _{2}$라 하면 $\vec{A _{0} A _{3}} \cdot \vec{A _{0} A _{1}} = 2 | \vec{A _{0} A _{1}} | \cos \theta _{1} = 1$ $\therefore$ $\displaystyle | \vec{A _{0} A _{1}} | \cos \theta _{1} = \frac{1}{2}$ $\vec{A _{0} A _{3}} \cdot \vec{A _{0} A _{2}} = 4 \cos \theta _{2} = 3$ $\therefore$ $\displaystyle \cos \theta _{2} = \frac{3}{4}$ 이때, $\displaystyle | \vec{A _{2} A _{3}} | ^{2} = 2 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \times 2 \times 2 \times \frac{3}{4} = 2$ $\therefore$ $\displaystyle | \vec{A _{2} A _{3}} | = \sqrt{2}$ 따라서, $| \vec{A _{1} A _{3}} | = 2$ 이고 $\displaystyle | \vec{A _{0} A _{1}} | \cos \theta = \frac{1}{2}$ 이므로 점 $A _{1}$이 나타내는 도형은 선분 $A _{0} A _{3}$을 1 : 3 으로 내분하는 점을 C라 할 때, 점 C를 중심으로 하는 원이다. $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{3}{2}$

따라서, 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle r ^{2} = 2 ^{2} - ( \frac{3}{2} ) ^{2} = \frac{7}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle r = \frac{\sqrt{7}}{2}$ 이때, $| \vec{A _{1} A _{2}} |$가 최대가 되려면 즉, 선분 $\displaystyle \overline{A _{1} A _{2}}$가 가장 긴 경우는 점 $A _{1}$이 평면 $A _{0} A _{2} A _{3}$과 같은 평면에 있을 때이다. $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}$ $\displaystyle \sqrt{2}$

그런데, $\displaystyle \overline{A _{0} A _{1}} = \sqrt{( \frac{\sqrt{7}}{2} ) ^{2} + ( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \sqrt{2}$이므로 두 삼각형 $A _{0} A _{1} A _{3}$, $A _{0} A _{2} A _{3}$은 합동이므로 $\angle A _{1} A _{0} A _{3} = \theta _{3}$이라 하면 $\displaystyle M ^{2} = 2 ^{2} + ( \sqrt{2} ) ^{2} - 2 \times 2 \times \sqrt{2} \cos ( \theta _{2} + \theta _{3} )$ $\displaystyle = 6 - 4 \sqrt{2} ( \cos \theta _{2} \cos \theta _{3} - \sin \theta _{2} \sin \theta _{3} )$ $\displaystyle = 6 - 4 \sqrt{2} ( \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{\sqrt{14}}{4} )$ $\displaystyle = 6 - ( \frac{3}{2} - \frac{7}{2} ) = 8$