미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곡선과 x축 사이 넓이

문제

곡선 y=x3−2x2y = x ^{3} - 2 x ^{2}과 xx축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①76\displaystyle \frac{7}{6}②43\displaystyle \frac{4}{3}③32\displaystyle \frac{3}{2}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤116\displaystyle \frac{11}{6}

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②

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해설

[출제의도] 적분을 이용하여 곡선과 xx축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가? y=x3−2x2y = x ^{3} - 2 x ^{2}=x2(x−2)= x ^{2} ( x - 2 ) 곡선 y=x3−2x2y = x ^{3} - 2 x ^{2}은 다음 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이를 SS라 하면 S=∫02∣x3−2x2∣dx\displaystyle S = \int _{0} ^{2} {\left| x ^{3} - 2 x ^{2} \right| dx} =∫02(−x3+2x2)dx\displaystyle = \int _{0} ^{2} {( - x ^{3} + 2 x ^{2} ) dx} =[−14x4+23x3]02\displaystyle = \left[ - \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{2}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{2}=43\displaystyle = \frac{4}{3}

태그

#넓이#정적분

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