곡선과 x축 넓이

[출제의도] 이해능력-다항함수의 적분법 $\displaystyle f ( x ) = \int _{0} ^{x} {( - 6 t ^{2} + 6 t ) dt} = \left[ - 2 t ^{3} + 3 t ^{2} \right] _{0} ^{x}$ $= - 2 x ^{3} + 3 x ^{2} = x ^{2} ( - 2 x + 3 )$ 이므로 $f ( x ) = 0$에서 $x = 0$또는 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$

따라서 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{3}{2}} {\left| f ( x ) \right| dx} = \int _{0} ^{\frac{3}{2}} {( - 2 x ^{3} + 3 x ^{2} ) dx}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{2} x ^{4} + x ^{3} \right] _{0} ^{\frac{3}{2}} = - \frac{81}{32} + \frac{27}{8} = \frac{27}{32}$