곡선과 만나는 원의 최소 반지름

원과 곡선이 만나는 점을 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , x ^{2} - 1 \right)$라 하고, 점 $\left( 18 , - 1 \right)$과 점 $\mathrm{P}$ 사이의 거리를 $d$라 하면 $\displaystyle d = \sqrt{\left( x - 18 \right) ^{2} + x ^{4}}$ $f \left( x \right) = x ^{4} + \left( x - 18 \right) ^{2}$라 하면 $f' \left( x \right)$$= 4 x ^{3} + 2 \left( x - 18 \right)$ $= 2 \left( 2 x ^{3} + x - 18 \right)$ $= 2 \left( x - 2 \right) \left( 2 x ^{2} + 4 x + 9 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 2$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극소이면서 최솟값 $f \left( 2 \right) = 272$를 갖는다. 원의 반지름이 최소일 때는 $d$가 지름일 때이므로 반지름의 최솟값은 $\displaystyle \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{272}}{2} = 2 \sqrt{17}$이다. [다른 풀이] 좌표평면에서 점 $( 18 , - 1 )$을 지나는 원 $C$가 곡선 $y = x ^{2} - 1$과 만나도록 하는 원 $C$의 반지름의 길이의 최소가 되는 경우는 아래 그림과 같다.

즉, 만나는 접점을 ${\mathrm{P}} ( \mathit{t} , t ^{2} - 1 )$라 하면 곡선 $y = x ^{2} - 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $y' = 2 t$이다. 직선 $\mathrm{AP}$의 기울기와 접선의 기울기가 수직이므로 $\displaystyle \frac{t ^{2}}{t - 18} \times 2 t = \mathit{-} 1$, $2 t ^{3} + t - 18 = 0$ $\left( t - 2 \right) \left( 2 t ^{2} + 4 t + 9 \right) = 0$ $\therefore$$t = 2$ 따라서 점 ${\mathrm{P}} \left( 2 , 3 \right)$이므로 최소가 되는 원 $C$의 지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$$\displaystyle = \sqrt{( 18 - 2 ) ^{2} + ( - 1 - 3 ) ^{2}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{17}$ 따라서 원 $C$의 반지름의 길이의 최솟값은 $\displaystyle 2 \sqrt{17}$