곡선과 직선의 교점

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를 이해하여 상수의 값을 구한다. 곡선 $y = 2 x ^{2} - 5 x + a$와 직선 $y = x + 12$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자. 두 식 $y = 2 x ^{2} - 5 x + a$, $y = x + 12$를 연립하면 $2 x ^{2} - 5 x + a = x + 12$ $2 x ^{2} - 6 x + a - 12 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha \beta = \frac{a - 12}{2}$ 이때 조건에서 $\alpha \beta = \mathit{-} 4$이므로 $\displaystyle \frac{a - 12}{2} = \mathit{-} 4$, $a = 4$ [보충 설명] $a = 4$를 ㉠에 대입하여 정리하면 $x ^{2} - 3 x - 4 = 0$, $\left( x + 4 \right) \left( x - 1 \right) = 0$ 따라서 곡선 $y = 2 x ^{2} - 5 x + a$와 직선 $y = x + 12$는 서로 다른 두 점에서 만나고 두 점의 $x$좌표는 각각 $- 4$, $1$이다.