곡선과 직선 사이 넓이

$x ^{3} + 2 x = 3 x + 6$에서 $x ^{3} - x - 6 = 0$ $\left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + 2 x + 3 \right) = 0$ $\therefore$$x = 2$ 곡선 $y = x ^{3} + 2 x$와 직선 $y = 3 x + 6$의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left\{ 3 x + 6 - \left( x ^{3} + 2 x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left( - x ^{3} + x + 6 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{1}{2} x ^{2} + 6 x \right] _{0} ^{2}$ $= \mathit{-} 4 + 2 + 12$ $= 10$