곡선과 직선 사이 넓이

[출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가? 곡선 $y = 3 x ^{2} - x$와 직선 $y = 5 x$의 교점의 $x$좌표는 $3 x ^{2} - x = 5 x$ $3 x ^{2} - 6 x = 0$ $3 x ( x - 2 ) = 0$ $x = 0$ 또는 $x = 2$ 구간 $\left[ 0 , 2 \right]$에서 직선 $y = 5 x$가 곡선 $y = 3 x ^{2} - x$보다 위쪽에 있거나 만나므로 구하는 넓이는 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left\{ 5 x - \left( 3 x ^{2} - x \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( 6 x - 3 x ^{2} \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 3 x ^{2} - x ^{3} \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $= 3 ( 4 - 0 ) - ( 8 - 0 )$ $= 4$