곡선과 직선 사이 넓이

두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$를 $f \left( x \right) = x ^{2} + ax + b \left( a , b \right.$는 상수$\left. \right)$, $g \left( x \right) = x - 3 - f \left( x \right)$라 하자. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < 3 < \beta \right)$라 하면 $g \left( \alpha \right) = g \left( \beta \right) = 0$

$\displaystyle S _{2} = \int _{\alpha} ^{\beta} \left| f \left( x \right) - \left( x - 3 \right) \right| dx = \int _{\alpha} ^{\beta} g \left( x \right) dx$이므로 직선 $x = 3$은 곡선 $y = g \left( x \right)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 이등분한다. 이때 $g \left( x \right) = - x ^{2} + \left( 1 - a \right) x - 3 - b$에서 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{1 - a}{2}$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{1 - a}{2} = 3$, $a = - 5$ $S _{2} - 2 S _{1} = 6$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} S _{2} - S _{1} = 3$ $\displaystyle \frac{1}{2} S _{2} - S _{1}$ $\displaystyle = \int _{\alpha} ^{3} \left| f \left( x \right) - \left( x - 3 \right) \right| dx - \int _{0} ^{\alpha} \left| f \left( x \right) - \left( x - 3 \right) \right| dx$ $\displaystyle = - \int _{\alpha} ^{3} \left\{ f \left( x \right) - \left( x - 3 \right) \right\} dx - \int _{0} ^{\alpha} \left\{ f \left( x \right) - \left( x - 3 \right) \right\} dx$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{3} \left\{ f \left( x \right) - \left( x - 3 \right) \right\} dx$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{3} \left( x ^{2} - 6 x + b + 3 \right) dx$ $\displaystyle = - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} - 3 x ^{2} + \left( b + 3 \right) x \end{array} \right] _{0} ^{3}$ $= 18 - 3 \left( b + 3 \right) = 9 - 3 b = 3$ $b = 2$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{2} - 5 x + 2$이므로 $f \left( - 1 \right) = 8$