곡선과 직선 사이 넓이

[출제의도] 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가? $- 2 x ^{2} + 3 x = x$에서 $x = 0$ 또는 $x = 1$이므로 곡선 $y = - 2 x ^{2} + 3 x$와 직선 $y = x$가 만나는 점의 $x$좌표는 $0 , 1$이고 곡선 $y = - 2 x ^{2} + 3 x$와 직선 $y = x$는 그림과 같다.

구하는 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = \int _{0} ^{1} {\left\{ ( - 2 x ^{2} + 3 x ) - x \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {( - 2 x ^{2} + 2 x ) dx}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{2}{3} x ^{3} + x ^{2} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$ 따라서 $p + q = 3 + 1 = 4$