미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선과 직선 넓이 같음

문제

그림과 같이 곡선 y=12x2\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}과 직선 y=kxy = kx로 둘러싸인 부분의 넓이를 AA, 곡선 y=12x2\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}과 두 직선 x=2x = 2, y=kxy = kx로 둘러싸인 부분의 넓이를 BB라 하자. A=BA = B일 때, 30k30 k의 값을 구하시오. (단, kk는 0<k<10 < k < 1인 상수이다.) [4점]

y=12x2\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} y=kxy = kx

정답 보기
20

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기 y=12x2\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}과 y=kxy = kx가 만나는 점의 xx좌표는 00 또는 2k2 k이므로 A=∫02k(kx−12x2)dx\displaystyle A = \int _{0} ^{2 k} {\left( kx - \frac{1}{2} x ^{2} \right) dx}, B=∫2k2(12x2−kx)dx\displaystyle B = \int _{2 k} ^{2} {\left( \frac{1}{2} x ^{2} - kx \right) dx} A=BA = B이므로 ∫02k(kx−12x2)dx=∫2k2(12x2−kx)dx\displaystyle \int _{0} ^{2 k} {\left( kx - \frac{1}{2} x ^{2} \right) dx} = \int _{2 k} ^{2} {\left( \frac{1}{2} x ^{2} - kx \right) dx} ∫02k(kx−12x2)dx−∫2k2(12x2−kx)dx=0\displaystyle \int _{0} ^{2 k} {\left( kx - \frac{1}{2} x ^{2} \right) dx} - \int _{2 k} ^{2} {\left( \frac{1}{2} x ^{2} - kx \right) dx} = 0 ∫02k(kx−12x2)dx+∫2k2(kx−12x2)dx=0\displaystyle \int _{0} ^{2 k} {\left( kx - \frac{1}{2} x ^{2} \right) dx} + \int _{2 k} ^{2} {\left( kx - \frac{1}{2} x ^{2} \right) dx} = 0 ∫02(kx−12x2)dx=0\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left( kx - \frac{1}{2} x ^{2} \right) dx} = 0 [k2x2−16x3]02=2k−43=0\displaystyle \left[ \frac{k}{2} x ^{2} - \frac{1}{6} x ^{3} \right] _{0} ^{2} = 2 k - \frac{4}{3} = 0 따라서 k=23\displaystyle k = \frac{2}{3}이고 30k=2030 k = 20

태그

#넓이#정적분

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅰ 문제 모음미적분Ⅰ 정적분의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로