곡선과 직선 넓이 차

출제의도 : 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 ${\mathrm{P}} ( 2 , 6 )$이므로 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y = 3 x$ 또한, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $\displaystyle - \frac{1}{2} x + 1 = 3 x$ 에서 $\displaystyle x = \frac{2}{7}$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( \frac{2}{7} , \frac{6}{7} \right)$이다. 또한 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 ${\mathrm{R}} ( 2 , 0 )$이다. 이때, 곡선 $y = f ( x )$와 두 선분 $\mathrm{OQ}$, $\mathrm{BQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $C$라 하면 $\displaystyle \begin{aligned} A + C & = \int _{0} ^{2} \left\{ 3 x - \frac{1}{2} x ^{2} ( x + 1 ) \right\} d x \end{aligned}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left( - \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{1}{2} x ^{2} + 3 x \right) d x$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{8} x ^{4} - \frac{1}{6} x ^{3} + \frac{3}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = - \frac{1}{8} \times 2 ^{4} - \frac{1}{6} \times 2 ^{3} + \frac{3}{2} \times 2 ^{2}$ $\displaystyle = - 2 - \frac{4}{3} + 6$ $\displaystyle = \frac{8}{3}$ $\displaystyle B + C = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{6}{7}$$\displaystyle = \frac{6}{7}$ 따라서 $A - B = ( A + C ) - ( B + C )$$\displaystyle = \frac{8}{3} - \frac{6}{7}$$\displaystyle = \frac{38}{21}$