곡선과 직선 넓이

[출제의도] 정적분을 활용하여 직선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하는 문제를 해결한다. 점 $\displaystyle \mathrm{P} _{1} \left( 1 , \frac{1}{3} \right)$은 곡선 $y$$= ax ^{2}$위의 점이므로 $a$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ 직선 $\mathrm{P} _{1} P _{2}$의 방정식은 $y$$\displaystyle = - \frac{1}{3} \times 1 \times x + 2 \times \frac{1}{3} \times 1 ^{2}$, $y$$\displaystyle = - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ 점 $\mathrm{P} _{2}$의 $x$좌표는 직선 $\mathrm{P} _{1} P _{2}$와 곡선 $y$$\displaystyle = \frac{1}{3} x ^{2}$의 교점이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} x ^{2}$$\displaystyle = - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ $x ^{2} + x - 2$$= 0$ $x$$= - 2$ 또는 $x$$= 1$ 점 $\mathrm{P} _{2}$의 $x$좌표는 $- 2$ 구하는 부분의 넓이는 $\displaystyle \begin{aligned} & \int _{- 2} ^{0} {} \left( - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} x ^{2} \right) dx \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} = & \left[ - \frac{1}{6} x ^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{9} x ^{3} \right] _{- 2} ^{0} \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} = & \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{8}{9} \end{aligned}$$\displaystyle = \frac{10}{9}$