곡선과 직선 넓이

곡선과 직선의 교점의 좌표를 구한다. $\displaystyle \frac{xe ^{x ^{2}}}{e ^{x ^{2}} + 1} = \frac{2}{3} x$에서 $\displaystyle x e ^{x ^{2}} = \frac{2}{3} x e ^{x ^{2}} + \frac{2}{3} x$, $\displaystyle \frac{1}{3} x \left( e ^{x ^{2}} - 2 \right) = 0$ $x = 0$ 또는 $e ^{x ^{2}} - 2 = 0$ $e ^{x ^{2}} = 2$에서 $x ^{2} = \ln 2$ ∴ $\displaystyle x = \pm \sqrt{\ln 2}$ 따라서, 구하는 넓이$S$는 $\displaystyle S = 2 \int _{0} ^{\sqrt{\ln 2}} \left( \frac{2}{3} x - \frac{xe ^{x ^{2}}}{e ^{x ^{2}} + 1} \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\sqrt{\ln 2}} \frac{4}{3} x dx - \int _{0} ^{\sqrt{\ln 2}} \frac{2 xe ^{x ^{2}}}{e ^{x ^{2}} + 1} dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} x ^{2} \right] _{0} ^{\sqrt{\ln 2}} - \left[ \ln ( e ^{x ^{2}} + 1 ) \right] _{0} ^{\sqrt{\ln 2}}$ $\displaystyle = \frac{2}{3} \ln 2 - ( \ln 3 - \ln 2 )$ $\displaystyle = \frac{5}{3} \ln 2 - \ln 3$