곡선과 직선 교점 거리 미분

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? 곡선 $y = \ln ( 1 + e ^{2x} - e ^{-2t} )$과 직선 $y = x + t$가 만나는 두 점을 $\mathrm{P} ( \alpha , \alpha + \mathit{t} ) ,$ $\mathrm{Q} ( \beta , \beta + \mathit{t} )$ $( \alpha < \beta )$ 로 놓으면 $f ( t )$$\displaystyle = \sqrt{( \beta - \alpha ) ^{2} + ( \beta - \alpha ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2} ( \beta - \alpha )$ 이때, $\alpha , \beta$는 방정식 $\ln ( 1 + e ^{2x} - e ^{-2t} ) = x + t$ 의 서로 다른 두 실근이므로 $1 + e ^{2 x} - e ^{- 2 t} = e ^{x + t}$ $e ^{2x} - e ^{t} \times e ^{x} + 1 - e ^{-2t} = 0$ $e ^{x} = k$ $( k > 0 )$로 놓으면 $k ^{2} - e ^{t} k + 1 - e ^{-2t} = 0$ 따라서, $\displaystyle k = \frac{e ^{t} \pm \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}}{2}$ 이므로 $\displaystyle e ^{\alpha} = \frac{e ^{t} - \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}}{2}$ $\displaystyle e ^{\beta} = \frac{e ^{t} + \sqrt{e ^{2 t} + 4 e ^{- 2 t} - 4}}{2}$ 즉 $\displaystyle \alpha = \ln \frac{e ^{t} - \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}}{2}$ $\displaystyle \beta = \ln \frac{e ^{t} + \sqrt{e ^{2 t} + 4 e ^{- 2 t} - 4}}{2}$ 이므로 $\beta - \alpha$$\displaystyle = \ln \frac{e ^{t} + \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}}{e ^{t} - \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}}$ $\displaystyle = \ln \frac{\left( e ^{t} + \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4} \right) ^{2}}{4 \left( 1 - e ^{-2t} \right)}$ $\displaystyle = 2 \ln \left( e ^{t} + \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4} \right) - \ln 4 - \ln \left( 1 - e ^{-2t} \right)$ 따라서 $\displaystyle g ( t ) = 2 \ln \left( e ^{t} + \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4} \right) - \ln 4 - \ln \left( 1 - e ^{-2t} \right)$ 라 하면 $\displaystyle g' ( t ) = 2 \times \frac{e ^{t} + \frac{2 e ^{2t} - 8 e ^{-2t}}{2 \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}}}{e ^{t} + \sqrt{e ^{2t} + 4 e ^{-2t} - 4}} - \frac{2 e ^{-2t}}{1 - e ^{-2t}}$ 이므로 $\displaystyle g' ( \ln 2 ) = 2 \times \frac{2 + \frac{8 - 2}{2}}{2 + 1} - \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ 즉, $\displaystyle f ( t ) = \sqrt{2} g ( t )$에서 $\displaystyle f' ( \ln 2 ) = \sqrt{2} g' ( \ln 2 ) = \frac{8}{3} \sqrt{2}$ 이므로 $p = 3 ,$ $q = 8$ 따라서 $p + q = 11$