미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

곡선으로 둘러싸인 두 넓이의 비

문제

함수 $f ( x ) = x ^{4} - 6 x ^{3} + 12 x ^{2} - 8 x + 1$ 과 이차함수 $g ( x )$ 는 어떤 실수 $\alpha$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f ( \alpha ) = g ( \alpha ) , f' ( \alpha ) = g' ( \alpha )$ (나) $f ( \alpha + 1 ) = g ( \alpha + 1 ) , f' ( \alpha + 1 ) = g' ( \alpha + 1 )$

두 곡선 $y = f ( x )$ 와 $y = g ( x )$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S _{1}$ , 곡선 $y = g ( x )$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S _{2}$ 라 할 때, $\displaystyle {\frac{S _{2}}{S _{1}}}$ 의 값은? [5점] ① $20$ ② $25$ ③ $30$ ④ $35$ ⑤ $40$

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⑤

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해설

$g ( x ) = ax ^{2} + bx + c$ 라고 두면 (가), (나)에 의하여 $f ( x ) - g ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \alpha - 1 ) ^{2}$ $= x ^{4} - 6 x ^{3} + ( 12 - a ) x ^{2} + ( - 8 - b ) x + 1 - c$ 계수비교하면 $\alpha = 1$ , $a = - 1 , b = 4 , c = - 3$ $\therefore g ( x ) = - x ^{2} + 4 x - 3 = - ( x - 1 ) ( x - 3 )$ $\displaystyle S _{1} = \int _{1} ^{2} {} ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 ) ^{2} dx = \frac{1}{30}$ $\displaystyle S _{2} = \frac{2 ^{3}}{6} = \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = 40$

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