곡선 위의 점과 거리 제곱의 합

$\mathrm{OA}$의 중점을 M이라고 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{3}{2} , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} ^{2} + \overline{OA} ^{2} = 2 ( \overline{OM} ^{2} + \overline{PM} ^{2} )$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} ^{2} = \frac{9}{4}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} ^{2} =$$\displaystyle \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} + y ^{2}$$\displaystyle = x ^{2} - 3 x + \frac{9}{4} + 4 x ^{4}$$= f ( x )$ $f' ( x ) = 16 x ^{3} + 2 x - 3$$( 2 x - 1 ) ( 8 x ^{2} + 4 x + 3 )$ 따라서 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$일 때 $f ( x )$는 최솟값(극솟값)인데, $y = 2 x ^{2}$에서 이때 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$이므로 최솟값은 $\displaystyle 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$이다. 그러므로 구하려는 최솟값은 $\displaystyle 2 \left( \frac{9}{4} + \frac{5}{4} \right) = 7$이다.