미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선 접선 넓이

문제

곡선 y=x3+x−3y = x ^{3} + x - 3과 이 곡선 위의 점 (1,−1)( 1 , - 1 )에서의 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이가 qp\displaystyle \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 보기
31

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

y=x3+x−3y = x ^{3} + x - 3, y′=3x2+1y' = 3 x ^{2} + 1 접선은 y=4x−5y = 4 x - 5 이므로 x3+x−3=4x−5x ^{3} + x - 3 = 4 x - 5 x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x ^{3} - 3 x + 2 = ( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )=(x−1)3+3(x−1)2= ( x - 1 ) ^{3} + 3 ( x - 1 ) ^{2} S=∫−21(x−1)2(x+2)dx\displaystyle S = \int _{-2} ^{1} ( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 ) dx =∫−21{(x−1)3+3(x−1)2}dx\displaystyle = \int _{-2} ^{1} \{ ( x - 1 ) ^{3} + 3 ( x - 1 ) ^{2} \} dx =[14(x−1)4+(x−1)3]−21\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} ( x - 1 ) ^{4} + ( x - 1 ) ^{3} \right] _{-2} ^{1} =−814+27\displaystyle = - \frac{81}{4} + 27=274\displaystyle = \frac{27}{4}, ∴\therefore p+q=4+27=31p + q = 4 + 27 = 31

태그

#넓이#접선

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅰ 문제 모음미적분Ⅰ 정적분의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로