공통수학2직선의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기울기의 범위로 선분의 끝점 찾기

문제

두 점 A(3,a)\mathrm{A} \mathit{\left( 3 , a \right)}, B(5,b)\mathrm{B} \mathit{\left( 5 , b \right)}에 대하여 직선 y=k(x−1)+1y = k \left( x - 1 \right) + 1이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나도록 하는 실수 kk의 값의 범위가 12≤k≤3\displaystyle \frac{1}{2} \leq k \leq 3일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a<ba < b) [4점]

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해설

직선 y=k(x−1)+1y = k \left( x - 1 \right) + 1은 kk의 값에 관계없이 점 P(1,1)\mathrm{P} \mathit{\left( 1 , 1 \right)}을 지난다. 직선 PA\mathrm{PA}의 기울기는 a−13−1=a−12\displaystyle \frac{a - 1}{3 - 1} = \frac{a - 1}{2} 직선 PB\mathrm{PB}의 기울기는 b−15−1=b−14\displaystyle \frac{b - 1}{5 - 1} = \frac{b - 1}{4} 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}는 모두 직선 x=1x = 1의 오른쪽에 있으므로 kk의 값의 범위는 두 기울기 사이이다. 즉 a−12\displaystyle \frac{a - 1}{2}, b−14\displaystyle \frac{b - 1}{4} 중 하나가 12\displaystyle \frac{1}{2}, 다른 하나가 33이다. a−12=3\displaystyle \frac{a - 1}{2} = 3, b−14=12\displaystyle \frac{b - 1}{4} = \frac{1}{2}이면 a=7a = 7, b=3b = 3이 되어 a<ba < b에 어긋난다. a−12=12\displaystyle \frac{a - 1}{2} = \frac{1}{2}, b−14=3\displaystyle \frac{b - 1}{4} = 3이면 a=2a = 2, b=13b = 13 따라서 a+b=15a + b = 15

태그

#정점을 지나는 직선#선분과 만날 조건#거꾸로 추론

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