기울기 등차수열 보기

[출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기 ㄱ. $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{1}}} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{2}}} ( x _{2} , x _{2} ^{2} )$이고 직선 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{2}}}$의 기울기가 $a _{1}$이므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{x _{2} ^{2} - 0}{x _{2} - 0} = x _{2} = 3$ (참) ㄴ. 직선 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}$의 기울기 $a _{n}$은 $\displaystyle a _{n} = \frac{x _{\mathit{n} + 1} ^{2} - x _{\mathit{n}} ^{2}}{x _{\mathit{n} + 1} - x _{\mathit{n}}} = x _{\mathit{n} + 1} + x _{n}$ 조건 (나)에 의하여 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $3$이고, 공차가 $d$$( d > 3 )$인 등차수열이므로 $a _{n} = x _{n + 1} + x _{n} = 3 + ( n - 1 ) d$ $\cdots$ ① ①에서 $n = 1$, $2$, $3$, $\cdots$을 차례로 대입하면 $x _{2} = 3$, $x _{3} = d$, $x _{4} = 3 + d$, $x _{5} = 2 d$, $\cdots$ $x _{2 n} = 3 + ( n - 1 ) d$, $x _{2 n - 1} = ( n - 1 ) d$이므로 $x _{20} = 3 + 9 d$, $x _{19} = 9 d$ $x _{20} = x _{19} + 3$ (거짓) ㄷ. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( x _{2 k + 1} - x _{2 k} \right)$ $= ( x _{3} - x _{2} ) + ( x _{5} - x _{4} ) + \cdots + ( x _{21} - x _{20} )$ $= ( d - 3 ) + ( d - 3 ) + \cdots + ( d - 3 )$ $= 10 ( d - 3 ) \leq 100$ $d \leq 13$이므로 $d$의 최댓값은 $13$ (참) 따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ