기울기 범위가 두 갈래일 때 끝점 찾기

직선 $y = k \left( x - 2 \right) + 1$은 $k$의 값에 관계없이 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( 2 , 1 \right)}$을 지난다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $x = 2$의 양쪽에 있으므로 선분 $\mathrm{AB}$는 이 직선을 가로지르고, 이때 기울기의 범위는 두 직선 $\mathrm{PA}$, $\mathrm{PB}$의 기울기를 경계로 하는 바깥쪽 두 갈래가 된다. 즉 두 직선 $\mathrm{PA}$, $\mathrm{PB}$의 기울기는 $- 1$과 $2$이다. 직선 $\mathrm{PA}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a - 1}{- 1 - 2} = - \frac{a - 1}{3}$, 직선 $\mathrm{PB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{t - 1}{3 - 2} = t - 1$ (ⅰ) 직선 $\mathrm{PA}$의 기울기가 $- 1$인 경우 $\displaystyle - \frac{a - 1}{3} = - 1$에서 $a = 4$ 직선 $\mathrm{PB}$의 기울기가 $2$이므로 $t - 1 = 2$에서 $t = 3$ 이때 $a + t = 7$ (ⅱ) 직선 $\mathrm{PA}$의 기울기가 $2$인 경우 $\displaystyle - \frac{a - 1}{3} = 2$에서 $a = - 5$ 직선 $\mathrm{PB}$의 기울기가 $- 1$이므로 $t - 1 = - 1$에서 $t = 0$ 이때 $a + t = - 5$ 두 경우 모두 선분 $\mathrm{AB}$가 직선 $x = 2$를 가로지르므로 조건을 만족시킨다. 따라서 모든 $a + t$의 값의 합은 $7 + \left( - 5 \right) = 2$