길이가 일정한 다리를 놓는 경로

실마리: 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 길이는 항상 $2$로 일정하므로 이 부분을 떼어 내고 나머지 두 선분의 합만 생각한다. 점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표를 $( t , 0 )$ 이라 하면 선분 $\mathrm{PQ}$ 가 $y$축과 평행하므로 $\mathrm{P} ( t , 2 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2$ 점 $\mathrm{A}$ 를 $y$축의 방향으로 $- 2$만큼 평행이동한 점을 $\mathrm{A}'$ 이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , 3 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{( t - 1 ) ^{2} + ( 2 - 5 ) ^{2}} = \sqrt{( t - 1 ) ^{2} + 9} = \overline{\mathrm{A}' Q}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{A}' Q} + \overline{\mathrm{QB}} + 2 \geq \overline{\mathrm{A}' B} + 2$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 9 - 1 ) ^{2} + ( - 3 - 3 ) ^{2}} = \sqrt{64 + 36} = 10$ 이므로 $m = 10 + 2 = 12$ 등호는 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{A}' B$ 위에 있을 때 성립한다. 직선 $\mathrm{A}' B$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{- 3 - 3}{9 - 1} = - \frac{3}{4}$ 이므로 $\displaystyle y - 3 = - \frac{3}{4} ( x - 1 )$ $y = 0$ 을 대입하면 $\displaystyle - 3 = - \frac{3}{4} ( x - 1 )$ 에서 $x = 5$ 점 $( 5 , 0 )$ 은 선분 $\mathrm{A}' B$ 위의 점이므로 $q = 5$ 따라서 $m + q = 12 + 5 = 17$ 확인하면 $\mathrm{P} ( 5 , 2 )$, $\mathrm{Q} ( 5 , 0 )$ 일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{16 + 9} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \sqrt{16 + 9} = 5$ 이므로 합은 $12$이다.