기함수 삼차함수와 접선

[출제의도] 삼차함수의 성질을 이용하여 접선과의 교점의 $x$좌표 사이의 관계를 알 수 있는가를 묻는 문제이다. 삼차함수 $f ( x )$는 원점대칭이므로 $f ( x ) = x ^{3} + ax$, 접선은 $g \left( x \right) = bx + c$라 놓을 수 있다. ㄱ. $f ( x ) - g ( x ) = x ^{3} + \left( a - b \right) x - c$의 이차항의 계수가 $0$이므로 $f ( x ) - g ( x ) = 0$의 세 근 $p , p , q$의 합은 $0$이다. 즉, $2 p + q = 0$이므로 $q = - 2 p$이다. (참) ㄴ. $y = f ( x )$는 원점대칭이므로 $\beta = - \alpha$이고, $p = \alpha$인 경우를 생각하면, ㄱ에 의해 $q = r = - 2 \alpha$이므로 $\alpha + 2 r = 3 \beta$이다. (참) ㄷ. $f ( 0 ) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{p \rightarrow - 0} \frac{f ( p )}{p} = \lim\limits _{p \rightarrow - 0} \frac{f ( p ) - f ( 0 )}{p} = f' ( 0 )$ 이고, $f' ( x ) = 3 x ^{2} + a = 3 ( x - \alpha ) ( x - \beta )$에서 $f' ( 0 ) = 3 \alpha \beta$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{p \rightarrow - 0} \frac{f ( p )}{p} = 3 \alpha \beta$이다. (참)