미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

그래프로 정적분

문제

[13 ~ 14] 삼차함수 y=f(x)y = f ( x )와 꼭짓점의 좌표가 (1,−1)( 1 , - 1 )인 이차함수 y=g(x)y = g ( x )의 그래프가 그림과 같다. 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=xy = x는 세 점에서 만나고 그 교점의 xx좌표는 −2- 2, 00, 33이고, 함수 y=g(x)y = g ( x )의 그래프와 직선 y=xy = x는 두 점에서 만나고 그 교점의 xx좌표는 00, 33이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

∫1eg(ln⁡x)+1dx\displaystyle \int _{1} ^{e} {\sqrt{g \left( \ln x \right) + 1} dx}의 값은? [3점] ①e−2e - 2②e−1e - 1③2e−32 e - 3④2e−22 e - 2⑤2e−12 e - 1

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①

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해설

[출제의도] 정적분 이해하기 g(x)=(x−1)2−1g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} - 1이고 1≤x≤e1 \leq x \leq e에서 ln⁡x−1≤0\ln x - 1 \leq 0이므로 ∫1eg(ln⁡x)+1dx=∫1e(ln⁡x−1)2dx\displaystyle \int _{1} ^{e} {\sqrt{g ( \ln x ) + 1} dx = \int _{1} ^{e} {\sqrt{\left. \left( \ln x - 1 \right. \right) ^{2}} dx}} =∫1e∣ln⁡x−1∣dx=∫1e(1−ln⁡x)dx\displaystyle = \int _{1} ^{e} {\left| \ln x - 1 \right| dx} = \int _{1} ^{e} {\left( 1 - \ln x \right) dx} =[x−xln⁡x+x]1e=e−2\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} x - x \ln x + x \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{e} = e - 2

태그

#치환#로그함수 적분#절댓값

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