공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근의 성질 이용

문제

xx에 대한 이차방정식 x2−3x+k=0x ^{2} - 3 x + k = 0의 두 근을 α\alpha, β\beta라 할 때, 1α2−α+k+1β2−β+k=14\displaystyle \frac{1}{\alpha ^{2} - \alpha + k} + \frac{1}{\beta ^{2} - \beta + k} = \frac{1}{4}을 만족시키는 실수 kk의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기 α\alpha, β\beta는 이차방정식 x2−3x+k=0x ^{2} - 3 x + k = 0의 두 근이므로 α2−3α+k=0\alpha ^{2} - 3 \alpha + k = 0, β2−3β+k=0\beta ^{2} - 3 \beta + k = 0에서 α2−α+k=2α\alpha ^{2} - \alpha + k = 2 \alpha, β2−β+k=2β\beta ^{2} - \beta + k = 2 \beta이고 α+β=3\alpha + \beta = 3, αβ=k\alpha \beta = k이다. 따라서 1α2−α+k+1β2−β+k\displaystyle \frac{1}{\alpha ^{2} - \alpha + k} + \frac{1}{\beta ^{2} - \beta + k} =12α+12β\displaystyle = \frac{1}{2 \alpha} + \frac{1}{2 \beta}=α+β2αβ=32k=14\displaystyle = \frac{\alpha + \beta}{2 \alpha \beta} = \frac{3}{2 k} = \frac{1}{4} 이므로 k=6k = 6이다.

태그

#근과 계수의 관계#이차방정식의 근

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