공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

근의 정수 부분과 소수 부분

문제

이차방정식 x2−4x−1=0x ^{2} - 4 x - 1 = 0의 양의 근을 α\alpha라 하자. α\alpha의 정수 부분을 nn, 소수 부분을 pp라 할 때, p2+4pp ^{2} + 4 p의 값을 구하시오. [4점]

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해설

근의 공식에 의하여 x=2±4+1=2±5\displaystyle x = 2 \pm \sqrt{4 + 1} = 2 \pm \sqrt{5} 양의 근은 α=2+5\displaystyle \alpha = 2 + \sqrt{5} 2<5<3\displaystyle 2 < \sqrt{5} < 3이므로 4<α<54 < \alpha < 5 따라서 n=4n = 4, p=α−4=5−2\displaystyle p = \alpha - 4 = \sqrt{5} - 2 p2+4p=(9−45)+(45−8)=1\displaystyle p ^{2} + 4 p = ( 9 - 4 \sqrt{5 ) + ( 4} \sqrt{5} - 8 ) = 1 [다른 풀이] α=p+4\alpha = p + 4를 α2−4α−1=0\alpha ^{2} - 4 \alpha - 1 = 0에 대입하면 (p+4)2−4(p+4)−1=0( p + 4 ) ^{2} - 4 ( p + 4 ) - 1 = 0 p2+4p−1=0p ^{2} + 4 p - 1 = 0 따라서 p2+4p=1p ^{2} + 4 p = 1

태그

#근의 공식#정수 부분과 소수 부분#무리수

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