공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

근의 절댓값 합

문제

이차방정식 x2−ax−3a=0(a>0)x ^{2} - ax - 3 a = 0 ( a > 0 )의 서로 다른 두 실근 α,β\alpha , \beta에 대하여 ∣α∣+∣β∣=8\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| = 8일 때, α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}의 값은? [4점] ①3434②3636③3838④4040⑤4242

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④

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하면 α+β=a,αβ=−3a,∣α∣+∣β∣=8\alpha + \beta = a , \alpha \beta = - 3 a , \left| \alpha \right| + \left| \beta \right| = 8이다. a>0a > 0이므로 α+β>0,αβ<0\alpha + \beta > 0 , \alpha \beta < 0에서 α<0<β\alpha < 0 < \beta라 하면 (∣α∣+∣β∣)2=(−α+β)2( \left| \alpha \right| + \left| \beta \right| ) ^{2} = ( - \alpha + \beta ) ^{2}=(α+β)2−4αβ= ( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta =a2+12a=64= a ^{2} + 12 a = 64 이므로 a=4a = 4이다. ∴ α2+β2=(α+β)2−2αβ=a2+6a=40\alpha ^{2} + \beta ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta = a ^{2} + 6 a = 40 [다른풀이] 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하면 α+β=a,αβ=−3a,∣α∣+∣β∣=8\alpha + \beta = a , \alpha \beta = - 3 a , \left| \alpha \right| + \left| \beta \right| = 8이다. a>0a > 0이므로 α+β>0,αβ<0\alpha + \beta > 0 , \alpha \beta < 0에서 α<0<β\alpha < 0 < \beta라 하면 −α+β=8,β=α+8- \alpha + \beta = 8 , \beta = \alpha + 8이다. α+β=a,αβ=−3a\alpha + \beta = a , \alpha \beta = - 3 a에서 αβ=−3(α+β)\alpha \beta = - 3 ( \alpha + \beta )이므로 α(α+8)=−3(2α+8)\alpha ( \alpha + 8 ) = - 3 ( 2 \alpha + 8 ), α2+14α+24=0\alpha ^{2} + 14 \alpha + 24 = 0, (α+2)(α+12)=0( \alpha + 2 ) ( \alpha + 12 ) = 0 α=−12\alpha = - 12이면 β=−4\beta = - 4이므로 α<0<β\alpha < 0 < \beta에 모순이고, α=−2\alpha = - 2이면 β=6\beta = 6이므로 주어진 조건을 만족한다. ∴ α2+β2=40\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 40

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#근과 계수의 관계#절댓값

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