공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 계수의 관계

문제

이차방정식 $x ^{2} - 2 x + 4 = 0$ 의 두 근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 할 때, $\displaystyle \frac{\beta ^{2}}{\alpha} + \frac{\alpha ^{2}}{\beta}$ 의 값은? [3점] ① $- 7$ ② $- 4$ ③ $- 1$ ④ $2$ ⑤ $5$

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②

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해설

이차방정식 $x ^{2} - 2 x + 4 = 0$ 의 두 근이 $\alpha$ , $\beta$ 이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 2$ , $\alpha \beta = 4$ $\displaystyle \frac{\beta ^{2}}{\alpha} + \frac{\alpha ^{2}}{\beta}$ $\displaystyle = \frac{\alpha ^{3} + \beta ^{3}}{\alpha \beta}$ $\displaystyle = \frac{\left( \alpha + \beta \right) ^{3} - 3 \alpha \beta \left( \alpha + \beta \right)}{\alpha \beta}$ $\displaystyle = \frac{2 ^{3} - 3 \times 4 \times 2}{4}$ $= \mathit{-} 4$

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