근과 계수 활용

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식의 두 근의 곱을 구한다. $( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a )$ $=$$x ^{2} - ( a + b ) x + ab + x ^{2} - ( b + c ) x + bc + x ^{2} - ( c + a ) x + ca$ $= 3 x ^{2} - 2 ( a + b + c ) x + ab + bc + ca$$= 0$ 에서 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{2 ( a + b + c )}{3} = 4$, $\displaystyle \frac{ab + bc + ca}{3} = - 3$ ∴ $a + b + c = 6$, $ab + bc + ca = - 9$ $( x - a ) ^{2} + ( x - b ) ^{2} + ( x - c ) ^{2}$ $= 3 x ^{2} - 2 ( a + b + c ) x + a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$$= 0$ 에서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3}$$=$$\displaystyle \frac{1}{3} \left\{ ( a + b + c ) ^{2} - 2 ( ab + bc + ca ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left( 36 + 18 \right)$$= 18$