공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근과 계수 관계 빈칸

문제

두 함수 f(x)=x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{2} + ax + b, g(x)=bx+ag \left( x \right) = bx + a의 그래프가 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 만날 때, 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}의 xx좌표를 각각 α\alpha, β\beta라 하자. 다음은 ∣α−β∣=5\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \sqrt{5}일 때, f(−1)f \left( - 1 \right)의 값을 구하는 과정이다. (단, b>ab > a)

두 함수 y=f(x)y = f \left( x \right), y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프가 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 만나므로 방정식 f(x)−g(x)=0f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0의 해는 x=αx = \alpha 또는 x=βx = \beta f(x)−g(x)=x2+(a−b)x+b−af \left( x \right) - g \left( x \right) = x ^{2} + \left( a - b \right) x + b - a이므로 b−a=tb - a = t(t>0)\left( t > 0 \right)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 ∣α−β∣2=t2−□(가)\left| \alpha - \beta \right| ^{2} = t ^{2} - \left. {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \right. ∣α−β∣=5\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \sqrt{5}이므로 t=□(나)t = \left. {\square {( \text{나} ) _{} ^{}}} \right. 따라서 f(−1)=1−a+b=□(다)f \left( - 1 \right) = 1 - a + b = \left. {\square {( \text{다} ) _{} ^{}}} \right.

위의 (가)에 알맞은 식을 h(t)h \left( t \right), (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq라 할 때, p+q+h(1)p + q + h \left( 1 \right)의 값은? [4점] ①77②99③1111④1313⑤1515

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⑤

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해설

두 함수 y=f(x)y = f \left( x \right), y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프가 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 만나므로 방정식 f(x)−g(x)=0f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0의 해는 x=αx = \alpha 또는 x=βx = \beta f(x)−g(x)=x2+(a−b)x+b−af \left( x \right) - g \left( x \right) = x ^{2} + \left( a - b \right) x + b - a이므로 b−a=tb - a = t(t>0t > 0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 α+β=b−a=t\alpha + \beta = b - a = t, αβ=b−a=t\alpha \beta = b - a = t ∣α−β∣2\left| \alpha - \beta \right| ^{2}=(α+β)2−4αβ= \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta=t2−□4t= t ^{2} - {\square {4 t}} ∣α−β∣=5\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \sqrt{5}이므로 t2−4t−5=0t ^{2} - 4 t - 5 = 0 (t−5)(t+1)=0\left( t - 5 \right) \left( t + 1 \right) = 0 t=5t = 5 또는 t=−1t = - 1 t>0t > 0이므로 t=□5t = {\square {5}} f(−1)=1−a+bf \left( - 1 \right) = 1 - a + b=1+t=□6= 1 + t = {\square {6}} ∴\therefore h(t)=4th \left( t \right) = 4 t, p=5p = 5, q=6q = 6 따라서 p+q+h(1)=5+6+4=15p + q + h \left( 1 \right) = 5 + 6 + 4 = 15

태그

#근과 계수의 관계#빈칸 추론

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