공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근을 갖지 않는 일차방정식과 이차방정식의 두 근

문제

xx에 대한 일차방정식 a(ax−1)−(x+1)=0a \left( ax - 1 \right) - \left( x + 1 \right) = 0이 근을 갖지 않을 때, x2−(4a−1)x−5a+1=0x ^{2} - \left( 4 a - 1 \right) x - 5 a + 1 = 0의 두 근 α,β\alpha , \beta에 대해 α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}의 값은? ①1414②1515③1616④1717⑤1818

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④ 1717

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해설

a(ax−1)−(x+1)=0a ( ax - 1 ) - ( x + 1 ) = 0 ↔\leftrightarrow (a2−1)x=a+1( a ^{2} - 1 ) x = a + 1 ↔\leftrightarrow (a+1)(a−1)x=a+1( a + 1 ) ( a - 1 ) x = a + 1 ⋯⋯ ㉠ 방정식 ㉠은 a=1a = 1일 때 근을 갖지 않으며 a=−1a = - 1일 때 무수히 많은 근을 갖는다. 따라서 a=1a = 1이다. 방정식 x2−(4a−1)x−5a+1=0x ^{2} - ( 4 a - 1 ) x - 5 a + 1 = 0 근과 계수와의 관계를 이용하면 α+β=4a−1=3\alpha + \beta = 4 a - 1 = 3 αβ=−5a+1=−4\alpha \beta = - 5 a + 1 = - 4 ∴ α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}=(α+β)2−2αβ= ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta=32−2⋅(−4)= 3 ^{2} - 2 \cdot ( - 4 )=17= 17

태그

#근과 계수의 관계#항등식#일차방정식

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