공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근을 대입한 식의 값

문제

xx에 대한 이차방정식 3x2−5x+k=03 x ^{2} - 5 x + k = 0 의 두 근을 α\alpha, β\beta라 할 때, (3α−k)(α−1)+(3β−k)(β−1)=−10\left( 3 \alpha - k \right) \left( \alpha - 1 \right) + \left( 3 \beta - k \right) \left( \beta - 1 \right) = - 10 을 만족시키는 실수 kk의 값을 구하시오. [4점]

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8

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해설

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 α+β=53\displaystyle \alpha + \beta = \frac{5}{3}, αβ=k3\displaystyle \alpha \beta = \frac{k}{3}이다. (3α−k)(α−1)+(3β−k)(β−1)\left( 3 \alpha - k \right) \left( \alpha - 1 \right) + \left( 3 \beta - k \right) \left( \beta - 1 \right) =3α2−(k+3)α+k+3β2−(k+3)β+k= 3 \alpha ^{2} - \left( k + 3 \right) \alpha + k + 3 \beta ^{2} - \left( k + 3 \right) \beta + k =3(α2+β2)−(k+3)(α+β)+2k= 3 \left( \alpha ^{2} + \beta ^{2} \right) - \left( k + 3 \right) \left( \alpha + \beta \right) + 2 k =3{(α+β)2−2αβ}−(k+3)(α+β)+2k= 3 \left\{ \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta \right\} - \left( k + 3 \right) \left( \alpha + \beta \right) + 2 k =253−2k−53(3+k)+2k\displaystyle = \frac{25}{3} - 2 k - \frac{5}{3} \left( 3 + k \right) + 2 k =−10= - 10 5k=405 k = 40이다. 따라서 k=8k = 8이다. [다른 풀이] 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 α+β=53\displaystyle \alpha + \beta = \frac{5}{3}이다. 3α2+k=5α3 \alpha ^{2} + k = 5 \alpha, 3β2+k=5β3 \beta ^{2} + k = 5 \beta이므로 (3α−k)(α−1)+(3β−k)(β−1)\left( 3 \alpha - k \right) \left( \alpha - 1 \right) + \left( 3 \beta - k \right) \left( \beta - 1 \right) =3α2−(k+3)α+k+3β2−(k+3)β+k= 3 \alpha ^{2} - \left( k + 3 \right) \alpha + k + 3 \beta ^{2} - \left( k + 3 \right) \beta + k =3α2+k−(k+3)α+3β2+k−(k+3)β= 3 \alpha ^{2} + k - \left( k + 3 \right) \alpha + 3 \beta ^{2} + k - \left( k + 3 \right) \beta =5α−(k+3)α+5β−(k+3)β= 5 \alpha - \left( k + 3 \right) \alpha + 5 \beta - \left( k + 3 \right) \beta =5(α+β)−(k+3)(α+β)= 5 \left( \alpha + \beta \right) - \left( k + 3 \right) \left( \alpha + \beta \right) =(α+β)(2−k)= \left( \alpha + \beta \right) \left( 2 - k \right) =53(2−k)\displaystyle = \frac{5}{3} \left( 2 - k \right) =−10= - 10 이고 2−k=−62 - k = - 6이다. 따라서 k=8k = 8이다.

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#근과 계수의 관계#식의 값

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