극한과 연속 성질 보기

ㄱ. (거짓)【반례】$\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x ^{2}}$, $\displaystyle g ( x ) = - \frac{1}{x ^{2}}$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x ^{2}} = \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \left( - \frac{1}{x ^{2}} \right) = - \infty$이지만 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2}} \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} 0 = 0$이다. ㄴ. (참) $y = f ( x )$가 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f ( x ) = f ( 0 )$ (ⅰ) $f ( 0 ) = 0$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left| f ( x ) \right|}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( x ) = f ( 0 ) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\left| f ( x ) \right|}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ - f ( x ) \right\} = - f ( 0 ) = 0$ ∴$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left| f ( x ) \right|} = \left| f ( 0 ) \right|$

(ⅱ) $f ( 0 ) = a ( a > 0 )$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left| f ( x ) \right|}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} f ( x )$ $= f ( 0 ) = a = \left| f ( 0 ) \right|$

(ⅲ) $f ( 0 ) = b ( b < 0 )$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left| f ( x ) \right|}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \left\{ - f ( x ) \right\}$ $= - f ( 0 ) = - b = \left| f ( 0 ) \right|$$( \because b < 0 )$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $y = \left| f ( x ) \right|$도 $x = 0$에서 연속이다. ㄷ. (거짓)【반례】$f ( x ) = \left\{ \genfrac{}{}{0pt}{}{1 ( x \geq 0 )}{- 1 ( x < 0 )} \right.$

위의 그림에서 $y = \left| f ( x ) \right|$는 $x = 0$에서 연속이지만 $y = f ( x )$는 $x = 0$에서 불연속이다. 따라서, 옳은 것은 ㄴ뿐이다.