극한과 교점 조건 삼차함수

[출제의도] 미분을 활용하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 조건 (나)에 의해 삼차함수 $f ( x )$는 극값 $- 1$을 갖는다. 조건 (가)에 의해 $f ( 0 ) = 3$, $f' ( 0 ) = 0$이므로 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극값 $3$을 갖는다. 그러므로 두 직선 $y = 3$, $y = \mathit{-} 1$과 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + 3$이라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$에서 $f' ( 0 ) = 0$이므로 $b = 0$ $\displaystyle f \left( - \frac{2 a}{3} \right)$$\displaystyle = \left( - \frac{2 a}{3} \right) ^{3} + a \times \left( - \frac{2 a}{3} \right) ^{2} + 3$$= \mathit{-} 1$에서 $a = \mathit{-} 3$ 그러므로 $f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 3$ 따라서 $f ( 4 ) = 19$