극한으로 삼차함수 결정

[출제의도] 함수극한의 성질을 이용하여 문제해결하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f ( x )}{x - 2} + \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f ( 2 x )}{x - 2} = 14} \cdots \text{㉠}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f ( x )}{x - 2}}$와 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f ( 2 x )}{x - 2}}$가 각각 수렴해야 하고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {( x - 2 ) = 0}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {f ( x ) = 0}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {f ( 2 x ) = 0}$ 이어야 한다. 즉, $f ( 2 ) = 0 , f ( 4 ) = 0$ $f ( x )$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로 $f ( x ) = ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + a )$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + a )}{x - 2}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} ( x - 4 ) ( x + a )$$= - 2 ( 2 + a ) = - 4 - 2 a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{( 2 x - 2 ) ( 2 x - 4 ) ( 2 x + a )}{x - 2}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} 4 ( x - 1 ) ( 2 x + a )$$= 4 ( 4 + a ) = 16 + 4 a$ ㉠에서 $( - 4 - 2 a ) + ( 16 + 4 a ) = 14$ $12 + 2 a = 14 , a = 1$ $\therefore f ( x ) = ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + 1 )$ 이므로 $f ( 5 ) = 18$