극한으로 정의된 함수

[출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성 및 삼차함수의 그래프를 이해하고 활용하여 함숫값을 구할 수 있는가? $i \left( x \right)$$= \left| f \left( x \right) \right|$로 놓으면 함수 $f \left( x \right)$는 다항함수이므로 모든 $x$의 값에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x + h \right) - i \left( x \right)}{h}$, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {} \frac{i \left( x + h \right) - i \left( x \right)}{h}$ 의 값이 항상 존재한다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| f \left( x + h \right) - f \left( x - h \right) \right|}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| f \left( x + h \right) \right| - \left| f \left( x \right) \right| - \left| f \left( x - h \right) \right| + \left| f \left( x \right) \right|}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x + h \right) - i \left( x \right)}{h} + \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x - h \right) - i \left( x \right)}{- h}$ (ⅰ) 함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하지 않고 $f \left( \alpha \right)$$= 0$, $f' \left( \alpha \right) \ne 0$인 경우

$g \left( x \right)$ $\displaystyle = f \left( x - 3 \right) \times \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| f \left( x + h \right) - f \left( x - h \right) \right|}{h}$ $\displaystyle = f \left( x - 3 \right) \times \left\{ \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x + h \right) - i \left( x \right)}{h} + \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x - h \right) - i \left( x \right)}{- h} \right\}$ $\displaystyle = {\begin{cases} f \left( x - 3 \right) \times \left\{ - 2 f' \left( x \right) \right\} & \left( x < \alpha \right) \\ \begin{aligned} 0 \\ f \left( x - 3 \right) \times \left\{ 2 f' \left( x \right) \right\} \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x = \alpha \right) \\ \left( x > \alpha \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {} g \left( x \right)$$= g \left( \alpha \right)$ 이어야 하므로 $f \left( \alpha - 3 \right) \left\{ - 2 f' \left( \alpha \right) \right\}$$= f \left( \alpha - 3 \right) \times \left\{ 2 f' \left( \alpha \right) \right\}$$= 0$ 그런데 $f' \left( \alpha \right) \ne 0$, $f \left( \alpha - 3 \right) \ne 0$이므로 모순이다. (ⅱ) 함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하지 않고 $f \left( \alpha \right)$$= 0$, $f' \left( \alpha \right)$$= 0$인 경우

$g \left( x \right)$ $\displaystyle = f \left( x - 3 \right) \times \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| f \left( x + h \right) - f \left( x - h \right) \right|}{h}$ $\displaystyle = f \left( x - 3 \right) \times \left\{ \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x + h \right) - i \left( x \right)}{h} + \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x - h \right) - i \left( x \right)}{- h} \right\}$ $\displaystyle = {\begin{cases} f \left( x - 3 \right) \times \left\{ - 2 f' \left( x \right) \right\} & \left( x < \alpha \right) \\ \begin{aligned} 0 \\ f \left( x - 3 \right) \times \left\{ 2 f' \left( x \right) \right\} \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x = \alpha \right) \\ \left( x > \alpha \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {} g \left( x \right)$$= g \left( \alpha \right)$ 이어야 하고 $f' \left( \alpha \right)$$= 0$이므로 $f \left( \alpha - 3 \right) \left\{ - 2 f' \left( \alpha \right) \right\}$$= f \left( \alpha - 3 \right) \times \left\{ 2 f' \left( \alpha \right) \right\}$$= 0$ 이 성립한다. 그런데, 방정식 $g \left( x \right)$$= 0$을 만족시키는 실근은 $x$$= \alpha$ 또는 $x$$= \alpha + 3$으로 $2$개 뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. (ⅲ) 함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하고 $f \left( \alpha \right) \ne 0$, $f \left( \beta \right) \ne 0$, $f' \left( \alpha \right)$$= f' \left( \beta \right)$$= 0$인 경우 (ⅰ)의 경우와 같이 $f \left( k \right)$$= 0$을 만족시키는 $x$$= k$에서 함수 $g \left( x \right)$는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. (ⅳ) 함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하고 $f \left( k \right)$$= 0$, $f \left( \alpha \right)$$\ne 0$, $f \left( \beta \right)$$= 0$, $f' \left( \alpha \right)$$f' \left( \beta \right)$$= 0$ ($k < \alpha < \beta$)인 경우

(ⅰ)의 경우와 같이 $f \left( k \right)$$= 0$을 만족시키는 $x$$= k$에서 함수 $g \left( x \right)$는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. (ⅴ) 함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하고 $f \left( k \right)$$= 0$, $f \left( l \right)$$= 0$, $f \left( m \right)$$= 0$, $f' \left( \alpha \right)$$= f' \left( \beta \right)$$= 0$ ($k < \alpha < l < \beta < m$)인 경우 (ⅰ)의 경우와 같이 $f \left( k \right)$$= 0$을 만족시키는 $x$$= k$에서 함수 $g \left( x \right)$는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. (ⅵ) 함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하고 $f \left( k \right)$$= 0$, $f \left( \alpha \right)$$= 0$, $f \left( \beta \right)$$\ne 0$, $f' \left( \alpha \right)$$f' \left( \beta \right)$$= 0$ ($\alpha < \beta < k$)인 경우

$g \left( x \right)$ $\displaystyle = f \left( x - 3 \right) \times \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| f \left( x + h \right) - f \left( x - h \right) \right|}{h}$ $\displaystyle = f \left( x - 3 \right) \times \left\{ \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x + h \right) - i \left( x \right)}{h} + \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{i \left( x - h \right) - i \left( x \right)}{- h} \right\}$ $\displaystyle = {\begin{cases} f \left( x - 3 \right) \times \left\{ - 2 f' \left( x \right) \right\} & \left( x < k \right) \\ \begin{aligned} 0 \\ f \left( x - 3 \right) \times \left\{ 2 f' \left( x \right) \right\} \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x = k \right) \\ \left( x > k \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {} g \left( x \right)$$= g \left( k \right)$ 이어야 하므로 $f \left( k - 3 \right) \left\{ - 2 f' \left( k \right) \right\}$$= f \left( k - 3 \right) \times \left\{ 2 f' \left( k \right) \right\}$$= 0$ 그런데 $f \left( k \right) \ne 0$이므로 $f \left( k - 3 \right)$$= 0$이고 $k - 3$$= \alpha$ $\cdots \cdots$ ㉠ 즉, $k$$= \alpha + 3$이면 조건 (가)를 만족시킨다. 또한, 방정식 $g \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근은 $x < k$일 때 $x$$= \alpha$ 또는 $x$$= \beta$ $x$$= k$일 때 $x$$= k$ $x > k$일 때 $x$$= k + 3$ 이고 조건 (나)에서 서로 다른 네 실근의 합이 $4$이므로 $\alpha + \beta + k + k + 3$$= 7$ $\alpha + \beta + 2 k$$= 4$ $\cdots \cdots$ ㉡ 또한, $f \left( x \right)$$= \left( x - \alpha \right) ^{2} \left( x - k \right)$이고 $f' \left( x \right)$$= \left( x - \alpha \right) \left( 3 x - 2 k - \alpha \right)$이므로 $f' \left( x \right)$$= 0$에서 $\beta$$\displaystyle = \frac{\alpha + 2 k}{3}$ ㉡에 대입하여 정리하면 $\alpha + 2 k$$= 3$ ㉠, ㉡에서 $\alpha$$= \mathit{-} 1$, $k$$= 2$이므로 $f \left( x \right)$$= \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right)$ 따라서 $f \left( 5 \right)$$= \left( 5 + 1 \right) ^{2} \left( 5 - 2 \right)$$= 36 \times 3$$= 108$