미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한 조건 삼차함수

문제

삼차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, f(10)f ( 10 )의 값을 구하시오. [3점]

(가) lim⁡x→1f(x)x2−1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 1} = 1 (나) lim⁡x→−1f(x)x2−1=−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 1} = - 1

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990

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해설

[출제의도] 이해능력-함수의 극한과 연속 f(1)=0,f(−1)=0f ( 1 ) = 0 , f ( - 1 ) = 0이므로 f(x)=(x−1)(x+1)(ax+b)(a≠0,a,b는상수)f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( ax + b ) ( a \ne 0 , a , b \text{는} \text{상수} )로 놓을 수 있다. (가)에서 lim⁡x→1f(x)x2−1=lim⁡x→1(x2−1)(ax+b)x2−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{( x ^{2} - 1 ) ( ax + b )}{x ^{2} - 1} =lim⁡x→1(ax+b)=a+b=1\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} ( ax + b ) = a + b = 1 ⋯㉠\cdots \text{㉠} (나)에서 lim⁡x→−1f(x)x2−1=lim⁡x→−1(x2−1)(ax+b)x2−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{( x ^{2} - 1 ) ( ax + b )}{x ^{2} - 1} =lim⁡x→−1(ax+b)=−a+b=−1\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} ( ax + b ) = - a + b = - 1 ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1,b=0a = 1 , b = 0 따라서 f(x)=x(x2−1)f ( x ) = x ( x ^{2} - 1 )이므로 f(10)=990f ( 10 ) = 990

태그

#극한#삼차함수#미정계수

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