극한 함수의 정적분

[출제의도] 극한으로 표현된 함수의 대칭성을 이용하여 정적분의 값을 구한다. ⅰ) $x > 1$ 또는 $x < - 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{x ^{2 n}}} = 0$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{x ^{2 n} + \cos 2 \pi x}{x ^{2 n} + 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1 + \frac{1}{x ^{2 n}} \times \cos 2 \pi x}{1 + \frac{1}{x ^{2 n}}}$$= 1$ ⅱ) $x = 1$일 때 $\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1 ^{2 n} + \cos 2 \pi}{1 ^{2 n} + 1}$$= 1$ ⅲ) $x = - 1$일 때 $\displaystyle f ( - 1 ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{( - 1 ) ^{2 n} + \cos 2 \pi ( - 1 )}{( - 1 ) ^{2 n} + 1}$$= 1$ ⅳ) $- 1 < x < 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}} = 0$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{x ^{2 n} + \cos 2 \pi x}{x ^{2 n} + 1}$$= \cos 2 \pi x$ ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} 1 & ( | x | \geq 1 ) \\ \cos 2 \pi x & ( | x | < 1 ) \end{cases}$ 따라서 함수 $f ( x )$의 그래프는 아래 그림과 같다.

$\displaystyle g ( x ) = \int _{- x} ^{2} {f ( t ) dt + \int _{2} ^{x} {t f ( t ) dt}}$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이고, 함수 $y = x f ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. $\displaystyle g ( - 2 ) = \int _{2} ^{2} {f ( t ) dt + \int _{2} ^{- 2} {t f ( t ) dt}}$ $\displaystyle = 0 + \int _{2} ^{- 2} {tf ( t ) dt}$ $\displaystyle = \int _{2} ^{- 2} {tf ( t ) dt}$$= 0$ $\displaystyle g ( 2 ) = \int _{- 2} ^{2} {f ( t ) dt + \int _{2} ^{2} {t f ( t ) dt}}$ $\displaystyle = \int _{- 2} ^{2} {f ( t ) dt}$$+ 0$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{2} {f ( t ) dt}$ $\displaystyle = 2 \left\{ \int _{0} ^{1} f ( t ) dt + \int _{1} ^{2} {} f ( t ) dt \right\}$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{1}{2 \pi} \sin 2 \pi t \right] _{0} ^{1} + 2 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{2}$ $= 0 + 2 = 2$ 따라서 $g ( - 2 ) + g ( 2 ) = 0 + 2 = 2$ [참고] 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이면 $f ( - x ) = f ( x )$이고, $g ( x ) = x f ( x )$라 하면 $g ( - x ) = ( - x ) f ( - x )$ $= - xf ( x )$ $= - g ( x )$이므로 함수 $y = xf ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.