극한 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \left| \frac{x - 1}{k} \right| < 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n}} = 0$이므로 $1 - k < x < 1 + k$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n} - 1}{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n} + 1}} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = \mathit{-} 1$ $\displaystyle \left| \frac{x - 1}{k} \right| > 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n}} = \infty$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{k}{x - 1} \right) ^{2 n}} = 0$이므로 $x < 1 - k$ 또는 $x > 1 + k$에서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n} - 1}{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n} + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 - \left( \frac{k}{x - 1} \right) ^{2 n}}{1 + \left( \frac{k}{x - 1} \right) ^{2 n}}}$ $\displaystyle = \frac{1 - 0}{1 + 0}$$= 1$ $\displaystyle \left| \frac{x - 1}{k} \right| = 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n}} = 1$이므로 $x = 1 - k$ 또는 $x = 1 + k$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n} - 1}{\left( \frac{x - 1}{k} \right) ^{2 n} + 1}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 1 _{{} _{}} & \left( x < 1 - k \text{또는} x > 1 + k \right) _{{} _{}} \\ 0 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( x = 1 - k \text{또는} x = 1 + k \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ - 1 ^{{} ^{}} & \left( 1 - k < x < 1 + k \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ $y = f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같고 함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} {g \left( x \right)} = g \left( k \right)$가 성립한다.

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} {g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow k} {\left( x - k \right) ^{2}} = 0$, $g \left( k \right) = \left( f \circ f \right) \left( k \right)$이므로 $\left( f \circ f \right) \left( k \right) = 0$ $f \left( 1 - k \right) = f \left( 1 + k \right) = 0$이므로 $f \left( k \right) = 1 - k$ 또는 $f \left( k \right) = 1 + k$ $k > 0$, $1 + k > 1$이고 $f \left( x \right)$의 치역은 $\left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$이므로 $1 + k$는 치역에 속하지 않는다. $\therefore$ $f \left( k \right) = 1 - k$ (ⅰ) $1 - k = 1$인 경우 $k = 0$이므로 조건에 맞지 않는다. (ⅱ) $1 - k = 0$인 경우 $k = 1$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 1 _{{} _{}} & \left( x < 0 \text{또는} x > 2 \right) _{{} _{}} \\ 0 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( x = 0 \text{또는} x = 2 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ - 1 ^{{} ^{}} & \left( 0 < x < 2 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ $f \left( f \left( 1 \right) \right) = f \left( - 1 \right) = 1 \ne 0$이므로 조건에 맞지 않는다. (ⅲ) $1 - k = \mathit{-} 1$인 경우 $k = 2$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 1 _{{} _{}} & \left( x < - 1 \text{또는} x > 3 \right) _{{} _{}} \\ 0 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( x = \mathit{-} 1 \text{또는} x = 3 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ - 1 ^{{} ^{}} & \left( - 1 < x < 3 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ $f \left( f \left( 2 \right) \right) = f \left( - 1 \right) = 0$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $k = 2$ $( g \circ f ) \left( k \right)$$= g \left( f \left( 2 \right) \right)$$= g \left( - 1 \right) = \left( - 1 - 2 \right) ^{2} = 9$