미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극값이 없는 삼차함수

문제

삼차함수 f(x)=x3+(a−1)x2+(a−1)x+1f ( x ) = x ^{3} + ( a - 1 ) x ^{2} + ( a - 1 ) x + 1이 극값을 갖지 않도록 하는$실수실수 a$의 값의 범위는? [3점] ①−1≤a≤2- 1 \leq a \leq 2②0≤a≤30 \leq a \leq 3③1≤a≤41 \leq a \leq 4④2≤a≤52 \leq a \leq 5⑤3≤a≤63 \leq a \leq 6

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③

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해설

f(x)=x3+(a−1)x2+(a−1)x+1f ( x ) = x ^{3} + ( a - 1 ) x ^{2} + ( a - 1 ) x + 1에서 f′(x)=3x2+2(a−1)x+a−1f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ( a - 1 ) x + a - 1 삼차함수 f (x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 f '(x)=0이 중근을 갖거나 근을 갖지 않으면 된다. 즉, D4=(a−1)2−3(a−1)≤0\displaystyle \frac{D}{4} = ( a - 1 ) ^{2} - 3 ( a - 1 ) \leq 0에서 (a−1)(a−4)≤0( a - 1 ) ( a - 4 ) \leq 0 ∴ 1≤a≤41 \leq a \leq 4

태그

#극값#판별식

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