극값과 실근 개수

$f \left( x \right) = x ^{3} - \left( a + 1 \right) x ^{2} + b$에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 2 \left( a + 1 \right) x$ $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 극값을 가지므로 $f' \left( a \right)$$= 3 a ^{2} - 2 a \left( a + 1 \right)$ $= a ^{2} - 2 a$ $= a \left( a - 2 \right) = 0$ $a$는 자연수이므로 $a = 2$ 즉 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + b$이므로 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 x = 3 x \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

방정식 $f \left( x \right) = 0$이 오직 하나의 실근을 가지려면 $b < 0$ 또는 $b > 4$ $b$는 자연수이므로 $b$의 최솟값은 $5$이다. 따라서 $a + b$의 최솟값은 $7$이다.