극값과 증가 조건

$f ( x ) = ( ax ^{2} + bx + c ) e ^{x}$을 $x$에 대하여 미분하면 $f ^{'} ( x ) = ( ax ^{2} + ( 2 a + b ) x + b + c ) e ^{x}$ $f ( x )$가 $\displaystyle x = \sqrt{3}$, $\displaystyle x = - \sqrt{3}$에서 극값을 가지므로 $ax ^{2} + ( 2 a + b ) x + b + c = 0$의 근이 $\displaystyle x = \sqrt{3} , - \sqrt{3}$ 근과 계수와의 관계에서 $\displaystyle - \frac{2 a + b}{a} = 0$, $\displaystyle \frac{b + c}{a} = - 3$이므로 $b = - 2 a$, $c = - a$ $\therefore f ^{'} ( x ) = a ( x ^{2} - 3 ) e ^{x}$, $f ( x ) = a ( x ^{2} - 2 x - 1 ) e ^{x}$ $0 \leq x _{1} < x _{2}$인 임의의 두 실수 $x _{1} , x _{2}$에 대하여 $f ( x _{1} ) - f ( x _{2} ) + x _{2} - x _{1} \geq 0$이므로 양변을 $x _{2} - x _{1} ( > 0 )$로 나누어 식을 정리하면 $\displaystyle \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} \geq - 1$ $f ( x )$가 $x \geq 0$에서 연속이고 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = f ' ( c )$ ($0 \leq x _{1} < c < x _{2}$)이다. $\therefore f ^{'(c)} \geq - 1$ 즉, $x \geq 0$에서 $f ^{'(x)}$의 최솟값이 $- 1$이고 $f ( x )$의 변곡점에서 $f ^{'(x)}$의 최솟값을 가지므로 $f ^{''(x)=a(x} {}^{2} + 2 x - 3 ) e ^{x} = 0$에서 $x = - 3 , 1$ $x \geq 0$을 만족하는 $x = 1$에서 $f ^{'(x)}$의 최솟값을 갖는다. $f ' ( 1 ) = - 2 ae \geq - 1$에서 $\displaystyle \therefore a \leq \frac{1}{2 e}$ 따라서, $\displaystyle abc = a ( - 2 a ) ( - a ) = 2 a ^{3} \leq 2 \left( \frac{1}{2 e} \right) ^{3} = \frac{\frac{1}{4}}{e ^{3}}$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{4}$ $\therefore 60 k = 15$