미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극값 존재 조건

문제

함수 f(x)=x3+ax2+(a2−4a)x+3f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + \left( a ^{2} - 4 a \right) x + 3이 극값을 갖도록 하는 모든 정수 aa의 개수는? [3점] ①55②66③77④88⑤99

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①

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해설

[출제의도] 함수의 극대, 극소 이해하기 함수 f(x)f \left( x \right)가 극값을 가지려면 f′(x)=3x2+2ax+(a2−4a)=0f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + ( a ^{2} - 4 a ) = 0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 D4=a2−3(a2−4a)>0\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 3 \left( a ^{2} - 4 a \right) > 0, 2a2−12a<02 a ^{2} - 12 a < 0 0<a<60 < a < 6이므로 정수 aa는 11, 22, 33, 44, 55 따라서 주어진 함수가 극값을 갖도록 하는 정수 aa의 개수는 55

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#극값#판별식

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